Amérique du Nord, mai 2022

Dans cet exercice, on considère la suite  $(T_n)$ définie par :  $T_0=180$  et, pour tout entier naturel $n$ , $T_{n+1}=0,955T_n+0,9$ .

1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $T_n⩾20$ .
    b. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$ , $T_{n+1}-T_n=-0,045(T_n-20)$ . En déduire le sens de variation de la suite $(T_n)$ .
    c. Conclure de ce qui précède que la suite  $(T_n)$ est convergente. Justifier.

2. Pour tout entier naturel $n$ , on pose : $u_n=T_n-20$ .
    a. Montrer que la suite  $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $T_n=20+160\times 0,{955}^n$ .
    c. Calculer la limite de la suite $(T_n)$ .

3. Dans cette partie, on s’intéresse à l’évolution de la température au centre d’un gâteau après sa sortie du four.
On considère qu’à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de  $180{}^{\circ }C$ et celle de l’air ambiant de  $20{}^{\circ }C$ .
La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente $(T_n)$ . Plus précisément,  $T_n$ représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius,  $n$ minutes après sa sortie du four.
    a. Expliquer pourquoi la limite de la suite  $(Tn)$ déterminée à la question 2.c. était prévisible dans le contexte de l’exercice.
    b. On considère la fonction Python ci-dessous :

$\begin{array}{|l|}\hline \text{def temp(x) : }\\ \text{T=180}\\ \text{n=0}\\ \text{while T > x :}\\ \text{T=0.955*T+0.9}\\ \text{n=n+1}\\ \text{return n}\\ \hline\end{array}$

Donner le résultat obtenu en exécutant la commande temp(120). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.