Amérique du Nord, mai 2022

Dans cet exercice, on considère la suite  \((T_n)\) définie par :  \(T_0=180\)  et, pour tout entier naturel \(n\) , \(T_{n+1}=0,955T_n+0,9\) .

1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) , \(T_n\geqslant20\) .
    b. Vérifier que, pour tout entier naturel \(n\) , \(T_{n+1}-T_n=-0,045(T_n-20)\) . En déduire le sens de variation de la suite \((T_n)\) .
    c. Conclure de ce qui précède que la suite  \((T_n)\) est convergente. Justifier.

2. Pour tout entier naturel \(n\) , on pose : \(u_n=T_n-20\) .
    a. Montrer que la suite  \((u_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    b. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) , \(T_n=20+160\times0,955^n\) .
    c. Calculer la limite de la suite \((T_n)\) .

3. Dans cette partie, on s’intéresse à l’évolution de la température au centre d’un gâteau après sa sortie du four.
On considère qu’à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de  \(180\;^\circ\!C\) et celle de l’air ambiant de  \(20\;^\circ\!C\) .
La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente \((T_n)\) . Plus précisément,  \(T_n\) représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius,  \(n\) minutes après sa sortie du four.
    a. Expliquer pourquoi la limite de la suite  \((Tn)\) déterminée à la question 2.c. était prévisible dans le contexte de l’exercice.
    b. On considère la fonction Python ci-dessous :

\(\begin{array}{| l| } \hline \text{def temp(x) : } \\ \quad \text{T=180} \\\quad \text{n=0} \\ \quad\text{while T > x :} \\\quad\quad\text{T=0.955*T+0.9}\\\quad\quad\text{n=n+1}\\\quad\text{return n} \\ \hline \end{array}\)

Donner le résultat obtenu en exécutant la commande temp(120). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.